Глава 186: VQE-оптимизация портфеля

Введение — Вариационный квантовый решатель собственных значений для оптимизации портфеля

Оптимизация портфеля лежит в основе количественных финансов. С тех пор как Гарри Марковиц представил Современную теорию портфеля в 1952 году, практики стремились найти оптимальное распределение активов, которое максимизирует доходность при заданном уровне риска. Классическая оптимизация среднего-дисперсии хорошо работает для небольших портфелей, но по мере роста числа активов комбинаторная сложность задачи взрывается — особенно при введении дискретных ограничений, таких как лимиты кардинальности (максимальное число удерживаемых активов), минимальные размеры лотов или бинарные решения включения/исключения.

Вариационный квантовый решатель собственных значений (VQE) — это гибридный квантово-классический алгоритм, изначально разработанный для нахождения энергий основного состояния молекулярных гамильтонианов в квантовой химии. Однако его структура естественно отображается на задачи комбинаторной оптимизации, включая оптимизацию портфеля. VQE принадлежит к семейству Вариационных квантовых алгоритмов (VQA), которые считаются одними из наиболее перспективных кандидатов для достижения практического квантового преимущества на NISQ-устройствах ближайшего поколения.

Ключевая идея проста: закодировать задачу оптимизации портфеля в виде гамильтониана — матрицы, наименьшее собственное значение (энергия основного состояния) которой соответствует оптимальному портфелю. Затем использовать параметризованную квантовую схему (анзац) для подготовки пробных состояний, измерения ожидаемой энергии и итеративной настройки параметров с помощью классического оптимизатора до сходимости.

В этой главе мы реализуем классическую симуляцию алгоритма VQE на Rust, применим её к оптимизации криптовалютного портфеля с использованием реальных рыночных данных Bybit и сравним результаты с традиционными подходами к оптимизации.

Математические основы

Задача оптимизации портфеля

Для $n$ активов с вектором ожидаемой доходности $\boldsymbol{\mu} \in \mathbb{R}^n$ и ковариационной матрицей $\Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n}$ классическая оптимизация среднего-дисперсии Марковица ищет веса $\mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$, решающие:

$$\min_{\mathbf{w}} \quad \gamma , \mathbf{w}^T \Sigma , \mathbf{w} - \mathbf{w}^T \boldsymbol{\mu}$$

при ограничениях $\sum_i w_i = 1$ и $w_i \geq 0$, где $\gamma$ — параметр неприятия риска.

Формулировка QUBO

Для отображения на квантово-совместимую форму мы дискретизируем веса. Каждый вес $w_i$ кодируется с помощью $K$ бинарных переменных:

$$w_i = \sum_{k=0}^{K-1} \frac{2^k}{2^K - 1} x_{i,k}, \quad x_{i,k} \in {0, 1}$$

Это преобразует непрерывную оптимизацию в задачу квадратичной бинарной оптимизации без ограничений (QUBO):

$$\min_{\mathbf{x}} \quad \mathbf{x}^T Q , \mathbf{x}$$

где $Q$ кодирует целевую функцию и ограничения (через штрафные члены). Матрица QUBO $Q$ строится как:

$$Q = \gamma , \tilde{\Sigma} - \text{diag}(\tilde{\boldsymbol{\mu}}) + \lambda \left( A^T A - 2 , \mathbf{1}^T A \right)$$

Здесь $\tilde{\Sigma}$ и $\tilde{\boldsymbol{\mu}}$ — ковариация и доходность, переформулированные в бинарном кодировании, а $\lambda$ — штрафной множитель, обеспечивающий бюджетное ограничение $\sum_i w_i = 1$.

Преобразование QUBO в гамильтониан Изинга

QUBO преобразуется в гамильтониан Изинга подстановкой $x_i = (1 - z_i)/2$, где $z_i \in {-1, +1}$ — спиновые переменные. Результирующий гамильтониан имеет вид:

$$H = \sum_{i} h_i Z_i + \sum_{i<j} J_{ij} Z_i Z_j + C$$

где $Z_i$ — операторы Паули-Z, $h_i$ — локальные поля, $J_{ij}$ — силы связи, а $C$ — константный сдвиг. Основное состояние $H$ — собственное состояние с наименьшим собственным значением — соответствует оптимальному бинарному назначению и, следовательно, оптимальному портфелю.

Анзац VQE

Алгоритм VQE использует параметризованную квантовую схему $U(\boldsymbol{\theta})$ для подготовки пробного состояния $|\psi(\boldsymbol{\theta})\rangle = U(\boldsymbol{\theta}) |0\rangle^{\otimes n}$. Мы используем аппаратно-эффективный анзац, состоящий из слоёв однокубитных вентилей вращения ($R_y$, $R_z$), за которыми следуют запутывающие вентили CNOT:

$$U(\boldsymbol{\theta}) = \prod_{\ell=1}^{L} \left[ \prod_{i} R_y(\theta_{i,\ell}^y) R_z(\theta_{i,\ell}^z) \cdot \text{CNOT-layer} \right]$$

Цикл оптимизации VQE:

1. Подготовить $|\psi(\boldsymbol{\theta})\rangle$ с помощью схемы-анзаца
2. Измерить математическое ожидание $\langle \psi(\boldsymbol{\theta}) | H | \psi(\boldsymbol{\theta}) \rangle$
3. Передать энергию классическому оптимизатору (например, COBYLA, Нелдер-Мид)
4. Обновить $\boldsymbol{\theta}$ и повторить до сходимости

Квантовое преимущество за пределами Марковица

Классическая оптимизация Марковица с непрерывными весами эффективно решается с помощью квадратичного программирования. Так в чём же помогает квантовый подход?

Комбинаторный взрыв при дискретных ограничениях

Реальная оптимизация портфеля часто включает ограничения, делающие задачу NP-трудной:

• Ограничения кардинальности: удерживать не более $k$ из $n$ активов
• Минимальные размеры позиций: если актив удерживается, его доля не менее определённого минимума
• Лимиты секторной экспозиции: не более указанного процента в любом секторе
• Пороги транзакционных издержек: бинарные решения покупки/продажи с фиксированными затратами

При $n$ активах и $K$-битной дискретизации пространство поиска составляет $2^{nK}$ — экспоненциально по числу активов и точности. Для 50 активов с 3-битной точностью это $2^{150} \approx 10^{45}$ возможностей.

Почему VQE перспективен

1. Квантовая суперпозиция позволяет анзацу исследовать экспоненциально много комбинаций портфеля одновременно.
2. Запутанность позволяет схеме эффективно захватывать корреляции между распределениями активов.
3. Вариационная структура делает VQE устойчивым к шуму — критическое преимущество на оборудовании ближайшего поколения.
4. Гибридная архитектура использует классические оптимизаторы для настройки параметров, а квантовое оборудование обрабатывает экспоненциальное пространство состояний.

Современное квантовое оборудование ограничено десятками шумных кубитов, поэтому реальное ускорение на портфельных задачах пока остаётся целью. Однако классические симуляции VQE — как та, что мы реализуем здесь — служат квантово-вдохновлёнными эвристиками, которые могут превосходить наивный полный перебор на задачах дискретной оптимизации.

Обзор реализации

Наша реализация на Rust моделирует алгоритм VQE классически. Основные компоненты:

1. Арифметика комплексных чисел

Поскольку квантовые состояния живут в комплексном гильбертовом пространстве, мы определяем тип Complex, хранящий действительную и мнимую части как пары f64. Реализуем сложение, умножение, сопряжение и модуль.

2. Матрицы Паули и квантовые вентили

Однокубитные матрицы Паули $I, X, Y, Z$ представлены как комплексные матрицы 2x2. Вентили вращения строятся из матричных экспонент:

• $R_x(\theta) = \cos(\theta/2) , I - i \sin(\theta/2) , X$
• $R_y(\theta) = \cos(\theta/2) , I - i \sin(\theta/2) , Y$
• $R_z(\theta) = \cos(\theta/2) , I - i \sin(\theta/2) , Z$

3. Моделирование вектора состояния

Мы представляем $n$-кубитное квантовое состояние как $2^n$-мерный комплексный вектор. Применение вентилей выполняется построением полной $2^n \times 2^n$ матрицы через тензорные произведения и матрично-векторное умножение.

4. Преобразование QUBO в Изинга

Функция qubo_to_ising принимает матрицу QUBO и возвращает локальные поля $h_i$, связи $J_{ij}$ и константный сдвиг.

5. Ожидание гамильтониана

Функция expectation_value вычисляет $\langle \psi | H | \psi \rangle$, суммируя вклады от каждого члена Паули-Z и связей Z-Z.

6. Цикл оптимизации VQE

Мы используем оптимизатор Нелдер-Мида (метод нисходящего симплекса) — безградиентный метод, подходящий для зашумлённых целевых функций.

7. Построение портфеля

После сходимости VQE оптимальная бинарная строка извлекается измерением конечного состояния. Бинарная строка декодируется обратно в веса портфеля.

Оптимизация криптопортфеля на Bybit

Мы применяем VQE-оптимизатор к портфелю из четырёх основных криптовалют, торгуемых на Bybit:

Актив	Тикер	Роль
Bitcoin	BTC/USDT	Средство сбережения, относительно низкая волатильность
Ethereum	ETH/USDT	Платформа смарт-контрактов
Solana	SOL/USDT	Высокопроизводительный L1
BNB	BNB/USDT	Токен биржи

Конвейер данных

1. Получить дневные данные свечей (kline) через публичный API Bybit
2. Вычислить дневные логарифмические доходности для каждого актива
3. Оценить вектор средней доходности и ковариационную матрицу
4. Построить матрицу QUBO с параметром неприятия риска $\gamma = 0.5$

Конфигурация VQE

• Кубиты: 8 (2 бита на вес актива для 4 активов)
• Слоёв анзаца: 2
• Параметры: 32 угла вращения
• Оптимизатор: Нелдер-Мид, 500 итераций
• Штрафной множитель: $\lambda = 2.0$ для бюджетного ограничения

Сравнение результатов: классический vs квантово-вдохновлённый

Мы сравниваем три стратегии:

1. Равновесный эталон

Каждый актив получает 25% аллокации. Это наивный базовый уровень.

2. Классическая среднее-дисперсия (аналитическая)

Решение непрерывной оптимизации Марковица с помощью обращения матрицы.

3. VQE квантово-вдохновлённый (дискретный)

Запуск симуляции VQE с 2-битной дискретизацией. Веса ограничены кратными $1/3$.

Типичные результаты

Стратегия	BTC	ETH	SOL	BNB	Доходность	Риск	Шарп
Равные веса	0.25	0.25	0.25	0.25	Базовый	Базовый	Базовый
Классич. MV	Варьируется	Варьируется	Варьируется	Варьируется	Выше	Ниже	Лучший
VQE Дискретный	0.33	0.33	0.00	0.33	Сопоставимый	Чуть выше	Хороший

VQE-подход находит хорошие дискретные аллокации, близко аппроксимирующие непрерывный оптимум. Дискретизация естественно создаёт форму регуляризации — предотвращая экстремальные аллокации, возникающие из ошибок оценки ковариационной матрицы.

Ключевые выводы

1. VQE естественно отображается на оптимизацию портфеля через QUBO-кодирование дискретизированных задач среднего-дисперсии. Основное состояние соответствующего гамильтониана Изинга кодирует оптимальные веса портфеля.

2. Формулировка QUBO нативно обрабатывает дискретные ограничения, что делает её идеальной для реальных портфельных задач с ограничениями кардинальности, минимальными размерами позиций и бинарными решениями включения/исключения.

3. Классическая симуляция VQE служит квантово-вдохновлённой эвристикой, которая валидирует подход и обеспечивает путь миграции на квантовое оборудование.

4. Дизайн анзаца критически важен — слишком мелкий, и схема не может выразить оптимальное состояние; слишком глубокий, и оптимизация страдает от бесплодных плато.

5. Для криптопортфелей на Bybit VQE-подход создаёт осмысленные дискретные аллокации, захватывающие основную структуру непрерывного оптимума.

6. Rust обеспечивает отличную платформу для квантового моделирования — его производительность и система типов хорошо подходят для численно-интенсивных операций линейной алгебры.

7. Разрыв между квантовым обещанием и текущей реальностью остаётся значительным, но алгоритмическая база зрелая. Когда появятся отказоустойчивые квантовые компьютеры, те же формулировки QUBO/VQE перенесутся напрямую.