Глава 145: Физически-информированные нейронные сети для модели процентных ставок Халла-Уайта

Обзор

Модель Халла-Уайта (также известная как расширенная модель Васичека) является одной из наиболее широко используемых однофакторных моделей коротких ставок в количественных финансах. Она описывает эволюцию мгновенной короткой ставки и может быть точно калибрована к начальной структуре процентных ставок. В этой главе мы строим физически-информированную нейронную сеть (PINN), которая встраивает уравнение в частных производных (PDE) Халла-Уайта непосредственно в функцию потерь нейронной сети, обеспечивая бессеточное, дифференцируемое ценообразование облигаций с автоматической подгонкой к структуре ставок.

Почему Халл-Уайт + PINN?

Модель Халла-Уайта

Модель Халла-Уайта описывает динамику короткой ставки при риск-нейтральной мере:

dr(t) = [theta(t) - a * r(t)] dt + sigma * dW(t)

где:

• r(t) — мгновенная короткая ставка в момент t
• a > 0 — скорость возврата к среднему
• theta(t) — зависящий от времени дрейф (калибруется для соответствия начальной кривой доходности)
• sigma > 0 — волатильность короткой ставки
• W(t) — стандартное броуновское движение при риск-нейтральной мере

Ключевые свойства

1. Возврат к среднему: Процентные ставки притягиваются к долгосрочному уровню theta(t)/a, не позволяя ставкам уходить в экстремальные значения
2. Аналитическая решаемость: Существуют замкнутые формулы для цен бескупонных облигаций, кэпов, флоров и свопционов
3. Подгонка к структуре ставок: Функция theta(t) может быть подобрана для точного соответствия любой наблюдаемой кривой доходности
4. Нормальное распределение: Короткая ставка r(t) имеет нормальное распределение (может принимать отрицательные значения, что реалистично для современных рынков)

Почему PINN?

Традиционные численные методы (конечные разности, триномиальные деревья) требуют:

• Построения сетки и управления граничными условиями
• Интерполяции между узлами сетки
• Отдельных шагов калибровки и ценообразования

Преимущества PINN:

• Бессеточный метод: не требуется дискретизация
• Дифференцируемость: греки (чувствительности) получаются бесплатно через автоматическое дифференцирование
• Гибкость: легко расширяется на многомерные случаи
• Ускорение на GPU: естественный параллелизм через мини-батчи
• Единый процесс: калибровка и ценообразование в одной оптимизации

Математические основы

Уравнение ценообразования облигаций

Для бескупонной облигации P(r, t; T) с погашением в момент T модель Халла-Уайта даёт уравнение в частных производных:

dP/dt + [theta(t) - a*r] * dP/dr + (1/2) * sigma^2 * d^2P/dr^2 - r*P = 0

с терминальным условием:

P(r, T; T) = 1  для всех r

Аналитическое решение

Модель Халла-Уайта допускает замкнутую формулу ценообразования:

P(r, t; T) = A(t, T) * exp(-B(t, T) * r)

где:

B(t, T) = (1 - exp(-a*(T-t))) / a

A(t, T) = (P_M(0, T) / P_M(0, t)) * exp(
    B(t,T) * f_M(0, t) - (sigma^2 / (4*a)) * (1 - exp(-2*a*t)) * B(t,T)^2
)

Здесь:

• P_M(0, t) — рыночный коэффициент дисконтирования в момент 0 для срока t
• f_M(0, t) — рыночная мгновенная форвардная ставка в момент 0 для срока t

Зависящий от времени дрейф

Функция theta(t) определяется начальной структурой ставок:

theta(t) = df_M(0, t)/dt + a * f_M(0, t) + (sigma^2 / (2*a)) * (1 - exp(-2*a*t))

Это гарантирует, что модель точно воспроизводит наблюдаемую кривую доходности в момент 0.

Архитектура PINN

Структура сети

Входной слой: (r, t, T) -- 2+1 нейрон
    |
Скрытый слой 1: 64 нейрона, активация Tanh
    |
Скрытый слой 2: 64 нейрона, активация Tanh
    |
Скрытый слой 3: 64 нейрона, активация Tanh
    |
Скрытый слой 4: 32 нейрона, активация Tanh
    |
Выходной слой: P(r, t) -- 1 нейрон (цена облигации)

Компоненты функции потерь

Общая функция потерь — это взвешенная комбинация нескольких компонент:

L_total = w_pde * L_pde + w_ic * L_ic + w_bc * L_bc + w_data * L_data

1. Потери от невязки PDE

# Автоматическое дифференцирование для вычисления частных производных
P = network(r, t)
P_t = d(P)/d(t)       # производная по времени
P_r = d(P)/d(r)       # производная по ставке
P_rr = d^2(P)/d(r^2)  # вторая производная по ставке

# Невязка PDE Халла-Уайта
residual = P_t + (theta_t - a * r) * P_r + 0.5 * sigma**2 * P_rr - r * P

L_pde = mean(residual^2)

2. Потери от терминального условия

# При погашении T цена облигации должна равняться 1
P_T = network(r_samples, T)
L_ic = mean((P_T - 1.0)^2)

3. Потери от граничных условий

# При r -> +inf, P -> 0 (для конечного T)
P_high = network(r_max, t_samples)
L_bc = mean(P_high^2)

4. Потери от подгонки к структуре ставок

# Соответствие наблюдаемым рыночным ценам облигаций при t=0
P_market = market_discount_factors
P_model = network(r0, t_maturities)
L_data = mean((P_model - P_market)^2)

Применение к криптовалютным ставкам кредитования

Ставки финансирования Bybit как прокси для короткой ставки

Криптовалютные бессрочные фьючерсы имеют ставки финансирования, которые служат аналогом краткосрочных процентных ставок:

Ставка финансирования = Индекс премии + clamp(Ставка% - Индекс премии, -0.05%, 0.05%)

Эти ставки финансирования демонстрируют:

• Возврат к среднему (обусловленный арбитражем)
• Стохастическую волатильность (зависящую от режима)
• Зависящий от времени дрейф (сдвиги рыночных настроений)

Это делает модель Халла-Уайта применимой к криптовалютным рынкам.

Получение данных

import requests

def fetch_bybit_funding_rates(symbol="BTCUSDT", limit=200):
    """Получение исторических ставок финансирования с Bybit."""
    url = "https://api.bybit.com/v5/market/funding/history"
    params = {
        "category": "linear",
        "symbol": symbol,
        "limit": limit
    }
    response = requests.get(url, params=params)
    data = response.json()
    rates = []
    for item in data["result"]["list"]:
        rates.append({
            "timestamp": int(item["fundingRateTimestamp"]),
            "rate": float(item["fundingRate"])
        })
    return rates

Процентные деривативы

Кэпы и флоры

Процентный кэп — это серия кэплетов, каждый из которых выплачивает:

max(L(T_i, T_{i+1}) - K, 0) * delta * N

где L — ставка LIBOR/референсная ставка, K — страйк, delta — доля дневного подсчёта, N — номинал.

Свопционы

Свопцион даёт право войти в процентный своп в будущую дату. При модели Халла-Уайта разложение Джамшидиана выражает свопцион как портфель опционов на облигации.

Сравнение с методами деревьев

Триномиальное дерево

Характеристика	Триномиальное дерево	PINN
Сетка	Да (N шагов x M узлов)	Нет (бессеточный)
Греки	Конечные разности (шумные)	Автодифф (точные)
Интерполяция	Нужна между узлами	Непрерывность по построению
Калибровка	Отдельный шаг	Интегрирована в обучение
Многомерность	Проклятие размерности	Масштабируется лучше
Ускорение GPU	Ограничено	Естественное

Примеры кода

Быстрый старт: обучение и ценообразование

from python.hull_white_pinn import HullWhitePINN
from python.train import train_pinn
from python.analytical import HullWhiteAnalytical

# Параметры модели
a = 0.1          # скорость возврата к среднему
sigma = 0.01     # волатильность
r0 = 0.03        # текущая короткая ставка
T_max = 10.0     # максимальный срок (лет)

# Создание и обучение PINN
model = HullWhitePINN(a=a, sigma=sigma)
train_pinn(model=model, r0=r0, a=a, sigma=sigma, T_max=T_max, epochs=5000)

# Сравнение с аналитикой
hw = HullWhiteAnalytical(a=a, sigma=sigma)
for T in [0.5, 1.0, 2.0, 5.0, 10.0]:
    price_pinn = model.predict(r0, 0.0, T)
    price_analytical = hw.bond_price(r0, 0.0, T)
    print(f"T={T:.1f}  PINN={price_pinn:.6f}  Аналитика={price_analytical:.6f}")

Криптовалютные ставки финансирования

from python.data_loader import load_bybit_funding_rates
from python.calibration import calibrate_hull_white

# Загрузка данных ставок финансирования с Bybit
rates = load_bybit_funding_rates(symbol="BTCUSDT", days=90)

# Калибровка параметров Халла-Уайта
params = calibrate_hull_white(rates)
print(f"Возврат к среднему: a={params['a']:.4f}")
print(f"Волатильность: sigma={params['sigma']:.6f}")
print(f"Долгосрочная ставка: theta/a={params['long_run_mean']:.6f}")

Управление рисками

Дюрация и выпуклость из PINN

С автоматическим дифференцированием получаем точные чувствительности:

def compute_greeks(model, r, t, T):
    """Вычисление чувствительностей цены облигации."""
    greeks = model.compute_greeks(r, t, T)
    # duration -- дюрация (чувствительность к ставке)
    # convexity -- выпуклость (вторая производная)
    # theta -- временной распад
    return greeks

Value at Risk (VaR)

Используя распределение ставок Халла-Уайта и ценообразование PINN:

def compute_var(model, r0, t, T, a, sigma, confidence=0.99):
    """Вычисление Value at Risk для позиции в облигации."""
    # При Халле-Уайте r(t+h) имеет нормальное распределение
    # VaR = P(r0) - P(r_shock)
    pass

Выводы

Ключевые результаты

1. Модель Халла-Уайта — золотой стандарт однофакторных моделей коротких ставок
2. PINN встраивает PDE непосредственно в функцию потерь, обеспечивая физическую согласованность
3. Автоматическое дифференцирование даёт точные греки без конечных разностей
4. Бессеточный подход избегает артефактов дискретизации
5. Криптовалютные ставки финансирования демонстрируют возврат к среднему, подходящий для модели Халла-Уайта
6. Пакетное ценообразование на GPU даёт PINN преимущество в скорости для больших портфелей

Когда использовать этот подход

• PINN: пакетное ценообразование, гладкие греки, гибкие расширения, ускорение GPU
• Аналитика: скорость единичной цены, гарантированная сходимость, интерпретируемость
• Деревья: зависящие от пути продукты, досрочное исполнение, простота

Структура файлов

145_pinn_hull_white_rates/
├── README.md                      # Английская версия
├── README.ru.md                   # Этот файл
├── readme.simple.md               # Простое объяснение (английский)
├── readme.simple.ru.md            # Простое объяснение (русский)
├── python/
│   ├── __init__.py
│   ├── requirements.txt
│   ├── hull_white_pinn.py         # Архитектура PINN
│   ├── train.py                   # Цикл обучения
│   ├── data_loader.py             # Данные Treasury + Bybit
│   ├── analytical.py              # Аналитическое ценообразование
│   ├── calibration.py             # Калибровка модели
│   ├── derivatives.py             # Кэпы, флоры, свопционы
│   ├── visualize.py               # Визуализация
│   └── backtest.py                # Бэктестинг стратегий
└── rust_pinn_hw/
    ├── Cargo.toml
    ├── src/
    │   ├── lib.rs                 # Ядро реализации
    │   └── bin/
    │       ├── train.rs           # Обучение
    │       ├── price_bonds.rs     # Ценообразование
    │       └── fetch_data.rs      # Получение данных
    └── examples/
        ├── basic_pricing.rs       # Базовый пример
        └── yield_curve.rs         # Кривая доходности